المبدأ

تعميم لـ k كيفما كان لـطريقة نيوتن رابسون بالنسبة لـ k = 1.

الخوارزم

تهيئ: ليكن x₀ مجاور لـ .

الكرة:  

x⁽ⁿ⁺¹⁾ = x⁽ⁿ⁾ - [ f '(x⁽ⁿ⁾)] ^-1 f(x⁽ⁿ⁾)

أي

e⁽ⁿ⁺¹⁾ = x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x⁽ⁿ⁾

  (    النهاية إذا )  n = 0,...

مثال

حل النظمة:

f₁(x₁,x₂) = x₁³ - 3x₁x₂² + 1 = 0
f₂(x₁,x₂) = 3x₁²x₂ - x₂³ = 0       

الحل  المضبوط  هو:     x₁ = 1/2, x₂ = /2                                                      

نعتبر نقطة الانطلاق 

الكرتان الأوليتان

البرمجة

#include <math.h>
#include <conio.h>
#define NMAX 3
#define N2MAX 4
#define ITERMAX 7
void eq_cf(double x[NMAX],double f[NMAX])
{
 f[1]=x[1]*x[1]*x[1]-3*x[1]*x[2]*x[2]+1;
 f[2]=3*x[1]*x[1]*x[2]-x[2]*x[2]*x[2];
}
void eq_df(double x[NMAX],double fp[NMAX][NMAX])
{
 fp[1][1]=3*x[1]*x[1]-3*x[2]*x[2];
 fp[1][2]=-6*x[1]*x[2];
 fp[2][1]=6*x[1]*x[2];
 fp[2][2]=3*x[1]*x[1]-3*x[2]*x[2];
}

int sl_gauss_pivmax(double a[NMAX][NMAX],double b[NMAX],int n);

double al_norme_vect(double x[NMAX],int n);

void eq_newton_nlin(double x[NMAX],double eps,double t[ITERMAX][NMAX],int n);

main()
{
 double x[NMAX],sol[NMAX],err[NMAX];
 int i,j,n;
 double eps,er0,er1,c;
 double t[ITERMAX][NMAX];
 clrscr();
 printf("Méthode de Newton à plusieurs variables\n");
 n=2;
 sol[1]=0.5;sol[2]=0.5*sqrt(3);
 x[1]=1;x[2]=1;
 for(j=1;j<=n;j++)
 err[j]=x[j]-sol[j];
 er0=al_norme_vect(err,n);
 eps=1e-16;
 eq_newton_nlin(x,eps,t,n);
 for(i=1;i<ITERMAX;i++)
 if (t[i][1]!=0)
 {
  for(j=1;j<=n;j++)
  err[j]=t[i][j]-sol[j];
  er1=al_norme_vect(err,n);
  printf("x(%d) = (",i);
  for(j=1;j<=n;j++)
  printf("%24.17e  ",t[i][j]);
  printf(")\n    err = %.3e",er1);
  if (er0!=0)
  {
   c=er1/pow(er0,2);
   printf("    rap = %.3e",c);
  }
  printf("\n");
  er0=er1;
 }
}

x(1) = (  6.6666666666666674e-01    8.3333333333333337e-01  )
    الارتياب = 1.70e-01    rap = 6.34e-01
x(2) = (  5.0869191618745457e-01    8.4109987441337830e-01  )
   الارتياب = 2.64e-02    rap = 9.15e-01
x(3) = (  4.9932999564375125e-01    8.6626917178800567e-01  )
  الارتياب = 7.13e-04    rap = 1.02e+00
x(4) = (  4.9999991136991284e-01    8.6602490315688918e-01  )
   الارتياب = 5.08e-07    rap = 1.00e+00
x(5) = (  4.9999999999995548e-01    8.6602540378469328e-01  )
    الارتياب = 2.59e-13    rap = 1.00e+00
x(6) = (  5.0000000000000000e-01    8.6602540378443860e-01  )
    الارتياب = 0.00e+00    rap = 0.00e+00

الدالة المكملة sl_gauss_pivmax

• معايير الدالة
  a : المصفوفة
  b : العنصر الثاني
  n : درجة المصفوفة

القيمة الرجعية
ترجع القيمة 1 عندما تكون المصفوفة مقلوبة رقميا والقيمة 0 إذا كان عكس ذلك.
إذا كانت قيمة الرجوع هي 1 فسيكون الحل في الجدول b.

تساوي الثابتة NMAX البعد القصوي للمصفوفة زائد 1، وتساوي الثابتة N2MAX القيمة NMAX+1

int sl_gauss_pivmax(double a[NMAX][NMAX],double b[NMAX],int n) 
{
 int i,j,k,l,err;
 double max,pivot,coef,s;
 double t[NMAX][N2MAX];

 for(i=1;i<=n;i++)
 {
   for(j=1;j<=n;j++) t[i][j]=a[i][j];
   t[i][n+1]=b[i]; 
 }

 err=1;
 k=1;

 while (err==1 && k<n) 
{
 max=fabs(t[k][k]);
 l=k; 
 for(i=k+1;i<=n;i++)
  if(max<fabs(t[i][k]))
  {
   max=fabs(t[i][k]);
   l=i; 
  }

 if(max!=0)
 {
  if(l!=k)
   for(j=k;j<=n+1;j++)
   {
    pivot=t[k][j];
    t[k][j]=t[l][j];
    t[l][j]=pivot; 
    }
   pivot=t[k][k];
   for(i=k+1;i<=n;i++)
   {
     coef=t[i][k]/pivot;
     for(j=k+1;j<=n+1;j++)
       t[i][j] -= coef*t[k][j]; 
    }
  }
   else
      err=0;
   k++; 
  } 
  
  if(t[n][n]==0) err=0; 
  if(err==1) 
  {
    b[n]=t[n][n+1]/t[n][n];
    for(i=n-1;i>=1;i--)
    {
      s=t[i][n+1];
      for(j=i+1;j<=n;j++)
        s-=t[i][j]*b[j];
        b[i]=s/t[i][i]; 
     }
  } 
return(err); 
}

الدالة المكملة al_norme_vect

• معايير الدالة هي كالتالي:
  x : المتجهة
  n : درجة المتجهة
•  
• ترجع بالمنظم المتجهي الأقليدي (منظم 2 لـ Holder).

  ---

   الدالة الرئيسية eq_newton_nlin

معايير هذه الدالة هي كالتالي:

eps : الدقة المطلوبة
x: يمثل القيمة البدئية x0 المخصصة لانطلاق عمل الخوارزم.
t : جدول ذي الدرجة ITERMAX*NMAX.
n: حجم النظام (عدد المتغيرات والمعادلات)

تستدعي الدالة الرئيسة دالتين أخرتين هما كالتالي:

void eq_cf(double x[NMAX],double f[NMAX])

التي تعطينا تعبيرات للدوال f₁ و... f_k

void eq_df(double x[NMAX],double fp[NMAX][NMAX])

التي تحسب المشتقات الجزئية للدول f₁,... f_k

يجب أن تعرف كل الدوال التابعة للنظام في البرنامج الأساسي.
تُرجع الدالة الأساسية في الجدول t التكرارات المتتالية للخوارزم نيوتن رابسون لمتغيرات عدة.

الثابتة الصحيحة ITERMAX تساوي العدد القصوي للتكرارات المطلوبة (+1).
الثابتة الصحيحة NMAX تساوي الحجم القصوي للنظام (+1).
الثابتة الصحيحة N2MAX تساوي NMAX+1. 

void eq_newton_nlin(double x[NMAX],double eps,double t[ITERMAX][NMAX],int n) 
{
 double nor;
 double y[NMAX],f[NMAX],err[NMAX],fp[NMAX][NMAX];
 int i,j,der,stop;

 for(i=0;i<ITERMAX;i++)
  for(j=0;j<NMAX;j++) t[i][j]=0;

 i=0;
 nor=2*eps;
 stop=1;
 while ((nor > eps) && (stop==1) && (i < ITERMAX-1)) 
 {
  i++;
  eq_cf(x,f);
  eq_df(x,fp);
  stop=sl_gauss_pivmax(fp,f,n);

  if(stop!=0)
  {
   for(j=1;j<=n;j++)
   {
    y[j]=x[j]-f[j];
    err[j]=y[j]-x[j];
    x[j]=y[j];
    t[i][j]=x[j]; 
   }
   nor=al_norme_vect(err,n); 
  }
 } 
}